Was ist der natürliche Logarithmus (ln)?

Der natürliche Logarithmus ln(x) hat die Eulersche Zahl e ≈ 2.71828 als Basis. ln(e) = 1. Er wird in der Mathematik, Physik und Wirtschaft häufig verwendet, z. B. beim exponentiellen Wachstum.

Wie berechnet man Logarithmen ohne Taschenrechner?

Für einfache Fälle mit Potenzen: log₂(32) = 5 (da 2⁵ = 32). log₁₀(100) = 2 (da 10² = 100). Für andere Werte nutzt man Logarithmentafeln oder die Formel: log_b(x) = ln(x) / ln(b).

Was sind die Logarithmusgesetze?

Produktregel: log(a×b) = log(a) + log(b). Quotientenregel: log(a/b) = log(a) − log(b). Potenzregel: log(a^n) = n × log(a). Basiswechsel: log_b(x) = ln(x) / ln(b).

Logarithmus Rechner

Natürlicher Logarithmus (ln), dekadischer Logarithmus (log₁₀) und Logarithmus zu beliebiger Basis.

Von der Redaktion darlehenrechner.ch · Aktualisiert: 16. April 2026

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Zahl (x)

x > 0

ln(x)1

Probe: e^ln(x)2.7183

log₁₀(x)0.434294

Basis e (Eulersche Zahl)2.718281828...

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Basis b

Zahl a

Zahl c (zweite Zahl)

Exponent n

Aktuell: log_2(8) = 3 | log_2(4) = 2

Produktregel: log_b(a × c) = log_b(a) + log_b(c)

log_2(8 × 4) = log_2(8) + log_2(4)

5 = 3 + 2

= 5 ≈ 5 ✓

Quotientenregel: log_b(a / c) = log_b(a) − log_b(c)

log_2(8 / 4) = log_2(8) − log_2(4)

1 = 3 − 2

= 1 ≈ 1 ✓

Potenzregel: log_b(aⁿ) = n × log_b(a)

log_2(8^3) = 3 × log_2(8)

log_2(512) = 3 × 3

= 9 ≈ 9 ✓

Basiswechsel: log_b(a) = ln(a) / ln(b)

log_2(8) = ln(8) / ln(2)

3 = 2,079442 / 0,693147

= 3 ≈ 3 ✓

Spezialwerte (Basis 2)

log_2(1)

log_2(2)

log_2(4)

log_2(0,5)

-1

log_2(1,414)

0,5

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Exponentialgleichungen lösen

Basis a (a > 0, a ≠ 1)

Ergebnis b (b > 0)

Gleichung2^x = 32

Lösungx = log_2(32) = 5

ProbeProbe: 2^5 = 32 ≈ 32 ✓

Lösungsweg

Gleichung: 2^x = 32

Logarithmieren beider Seiten (Basis 2):

x = log_2(32)

Basiswechsel: x = ln(32) / ln(2)

x = 3,465736 / 0,693147

x = 5

Was ist ein Logarithmus?

Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenz. Während 2³ = 8, ist log₂(8) = 3. Man fragt: "Zu welcher Potenz muss ich die Basis erheben, um die Zahl zu erhalten?"

Logarithmusgesetze

log(a × b) = log(a) + log(b) (Produkt) log(a / b) = log(a) − log(b) (Quotient) log(aⁿ) = n × log(a) (Potenz) log_b(x) = ln(x) / ln(b) (Basiswechsel) ln(e) = 1 log₁₀(10) = 1 log_b(1) = 0 (für jede Basis b)

Anwendungen des Logarithmus

Exponentielles Wachstum: Zinseszins, Bevölkerung
Dezibel (dB): Schallpegel = 10 × log₁₀(P₁/P₀)
Richter-Skala: Logarithmisch (1 Stufe = 10× stärker)
pH-Wert: pH = −log₁₀([H⁺])
Informatik: Algorithmus-Komplexität O(log n)

Häufige Fragen

ln = natürlicher Logarithmus, Basis e ≈ 2.71828. log oder log₁₀ = dekadischer Logarithmus, Basis 10. In der Mathematik/Physik ist mit "log" oft ln gemeint, in der Ingenieurwissenschaft meist log₁₀. Unser Rechner unterscheidet klar zwischen beiden.

Im reellen Zahlenbereich ist der Logarithmus nur für x > 0 definiert. Für negative Zahlen braucht man komplexe Logarithmen. log(0) ist undefiniert (= −∞).

Basiswechselformel: log₂(x) = log(x) / log(2) = ln(x) / ln(2). Beispiel: log₂(32) = ln(32) / ln(2) = 3.4657 / 0.6931 = 5. Unser Rechner übernimmt das im Tab "Beliebige Basis".

e ≈ 2.718281828... ist eine mathematische Konstante (wie π). Sie ist die natürliche Basis für Wachstums- und Zerfallsprozesse. Die Funktion eˣ ist die einzige Funktion, deren Ableitung sie selbst ist. ln(e) = 1.

Datenquellen: Eidg. Steuerverwaltung (ESTV), Bundesamt für Wohnungswesen (BWO), Bundesamt für Statistik (BFS), Schweizerische Nationalbank (SNB), Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV). Stand: April 2026. Alle Angaben ohne Gewähr — Haftungsausschluss.