Gleichungsrechner
Lineare, quadratische und kubische Gleichungen online lösen — mit Mitternachtsformel, Diskriminante, Scheitelpunktform und vollständigem Rechenweg auf Deutsch.
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2×2 Lineares Gleichungssystem
Ausgangssystem: 2x + 3y = 7 1x + -1y = 0
Eliminiere x aus Zeile 2 (Faktor 0.5): 0x + -2.5y = -3.5
y = -3.5 / -2.5 = 1.4
x = (7 − 3 × 1.4) / 2 = 1.4
So verwenden Sie den Gleichungsrechner
Wählen Sie den Gleichungstyp und geben Sie die Koeffizienten ein:
- Linear (ax + b = 0): Koeffizient a und Konstante b eingeben → direkte Lösung
- Quadratisch (ax² + bx + c = 0): Drei Koeffizienten → Mitternachtsformel, Diskriminante, Scheitelpunkt
- Kubisch (ax³ + bx² + cx + d = 0): Vier Koeffizienten → numerische Lösung (Newton-Raphson)
Negative Vorzeichen: Einfach negative Zahlen eingeben, z.B. −5.
Gleichungstypen und Lösungsformeln
Rechenbeispiele
a=3, b=−6
x = −(−6)/3 = 6/3 = 2
Quadratisch: x² − 5x + 6 = 0
a=1, b=−5, c=6
D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1 (D > 0)
x₁ = (5 + 1) / 2 = 3
x₂ = (5 − 1) / 2 = 2
Scheitelpunkt: xₛ = 5/2 = 2,5 | yₛ = −0,25
Quadratisch ohne reelle Lösungen: x² + 1 = 0
D = 0 − 4·1·1 = −4 < 0 → keine reellen Lösungen
Anwendungen im Schulalltag
Der Gleichungsrechner deckt den gesamten Mathematiklehrplan der Schweizer Matura/Gymnasium ab:
- Sek I (7.–9. Klasse): Lineare Gleichungen, Einführung quadratische Gleichungen
- Gymnasium (10.–12. Klasse): Quadratische Gleichungen, Diskriminante, Parabeln
- Fachhochschule: Kubische Gleichungen, numerische Methoden
- Physik / Technik: Bewegungsgleichungen, Schaltkreise, Statik
Häufige Fragen zum Gleichungsrechner
Die Mitternachtsformel löst ax²+bx+c=0: x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a). Der Name stammt daher, dass Schüler sie um Mitternacht auswendig können müssen. Die Diskriminante D = b²−4ac: D > 0 → 2 Lösungen, D = 0 → 1 Lösung, D < 0 → keine reellen Lösungen.
Eine doppelte Nullstelle (D = 0) bedeutet: Die Parabel berührt die x-Achse genau einmal, ohne sie zu schneiden. Die Nullstelle ist gleichzeitig der Scheitelpunkt der Parabel. Beispiel: x² − 4x + 4 = 0 → (x−2)² = 0 → x = 2 (doppelt).
Quadratische Ergänzung: ax²+bx+c = a(x+b/(2a))² + (c − b²/(4a)). Scheitelpunkt: xₛ = −b/(2a), yₛ = c − b²/(4a). Der Rechner zeigt den Scheitelpunkt automatisch an.
Eine Gleichung (z.B. x² − 5x + 6 = 0) fragt nach den x-Werten, bei denen der Ausdruck gleich null ist (Nullstellen). Eine Funktion (f(x) = x² − 5x + 6) beschreibt alle Wertepaare. Der Gleichungsrechner löst das spezielle Problem f(x) = 0.
Ja — geben Sie Bruchkoeffizienten als Dezimalzahl ein. Für 1/2·x² − 3/4·x + 1 = 0: a = 0.5, b = −0.75, c = 1. Alternativ: Mit dem KGV der Nenner multiplizieren, um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten (hier ×4 → 2x² − 3x + 4 = 0).