Was ist der Unterschied zwischen Permutation, Variation und Kombination?

Permutation: Alle n Elemente werden angeordnet (Reihenfolge wichtig, keine Auswahl). Variation: k Elemente aus n werden geordnet ausgewählt (Reihenfolge wichtig). Kombination: k Elemente aus n werden ungeordnet ausgewählt (Reihenfolge egal, wie beim Lotto).

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit beim Swiss Lotto (6 aus 42)?

Beim Swiss Lotto werden 6 Zahlen aus 42 gezogen, Reihenfolge egal = Kombination ohne Wiederholung. C(42, 6) = 42! / (6! × 36!) = 5'245'786. Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige beträgt also 1 : 5'245'786 (ca. 0,000019 %).

Was bedeutet "mit Wiederholung" und "ohne Wiederholung"?

Ohne Wiederholung: Jedes Element kann nur einmal vorkommen (z.B. Lottokugeln, Podiumsplätze). Mit Wiederholung: Elemente können mehrfach verwendet werden (z.B. PIN-Codes mit wiederholten Ziffern, Kombinationsschlösser).

Was ist der Binomialkoeffizient C(n, k)?

Der Binomialkoeffizient C(n, k) — auch "n über k" geschrieben — gibt an, auf wie viele Arten man k Elemente aus n auswählen kann, ohne auf die Reihenfolge zu achten. Formel: C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!). Er ist die Grundlage der Kombinatorik und erscheint im Pascalschen Dreieck.

Wie berechne ich n! (Fakultät)?

Die Fakultät n! ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis n. Beispiele: 0! = 1 (Definition), 1! = 1, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, 10! = 3'628'800. Ab n = 13 übersteigt n! eine Million; der Rechner zeigt bei sehr grossen Zahlen die wissenschaftliche Schreibweise.

Kombinatorik-Rechner

Permutation, Variation und Kombination — mit und ohne Wiederholung. Inklusive Schritt-für-Schritt-Rechenweg, Fakultät, Binomialkoeffizient und Swiss-Lotto-Beispiel (6 aus 42).

Von der Redaktion darlehenrechner.ch · Aktualisiert: 16. April 2026

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Anzahl Elemente n?

Gesamtanzahl der Elemente (max. 20 für exakte Berechnung)

Typ

Gruppe 1 (k₁) — nur bei Wiederholung

Anzahl gleicher Elemente der Gruppe 1

Gruppe 2 (k₂)

Anzahl gleicher Elemente der Gruppe 2 (0 = ignorieren)

P(5) = 5!?120

Rechenweg5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Beispiel5 Bücher auf Regal: 120 Reihenfolgen

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So verwenden Sie den Kombinatorik-Rechner

Wählen Sie den passenden Tab je nach Aufgabe:

Permutation: Alle Elemente anordnen — z.B. Bücher auf einem Regal
Variation: k aus n auswählen und anordnen — z.B. Podiumsplätze
Kombination: k aus n auswählen ohne Reihenfolge — z.B. Lotto

Für jede Kategorie wählen Sie zusätzlich, ob Wiederholung erlaubt ist.

Überblick: Die vier Grundformeln

Permutation ohne Wdh.: P(n) = n! Permutation mit Wdh.: P(n;k₁,k₂) = n! / (k₁! × k₂!) Variation ohne Wdh.: V(n,k) = n! / (n−k)! Variation mit Wdh.: V'(n,k) = nᵏ Kombination ohne Wdh.: C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!) Kombination mit Wdh.: C'(n,k) = C(n+k−1, k)

Swiss Lotto Beispiel: 6 aus 42

Aufgabe: Wie viele Tipps sind beim Swiss Lotto möglich?
Reihenfolge spielt keine Rolle → Kombination ohne Wiederholung

C(42, 6) = 42! / (6! × 36!)
= (42 × 41 × 40 × 39 × 38 × 37) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 5245786 Kombinationen

Wahrscheinlichkeit Jackpot: 1 : 5245786

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Visuelle Darstellung der Permutation, Kombination und des Pascalschen Dreiecks.

Gesamtanzahl n

Permutation: Alle 6 Elemente anordnen → 720 Möglichkeiten

Pos 1

Pos 2

Pos 3

Pos 4

Pos 5

Pos 6

Schritt 1: Platz 1 hat 6 Möglichkeiten

6 × …

Wann verwende ich welche Formel?

Die Entscheidungslogik folgt zwei Fragen:

Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Ja → Permutation/Variation. Nein → Kombination.
Kann ein Element mehrfach vorkommen? Nein → ohne Wiederholung. Ja → mit Wiederholung.

Praxisbeispiele

Anagramm (MATHEMATIK): Permutation mit Wiederholung (M erscheint 2×, A erscheint 2×)
4-stellige PIN: Variation mit Wiederholung → 10⁴ = 10000 Möglichkeiten
Lottoschein (6 aus 42): Kombination ohne Wiederholung → C(42,6) = 5245786
Goldsilberbronze aus 8 Athleten: Variation ohne Wiederholung → 8 × 7 × 6 = 336
Eiscrème 2 aus 5 Sorten (doppelt mögl.): Kombination mit Wiederholung → C(6,2) = 15

Fakultät — wichtige Werte

0! = 1 5! = 120 10! = 3628800 1! = 1 6! = 720 12! = 479001600 2! = 2 7! = 5040 15! = 1,307 × 10¹² 3! = 6 8! = 40320 20! = 2,432 × 10¹⁸ 4! = 24 9! = 362880 52! ≈ 8,07 × 10⁶⁷ (Kartenspiel)

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Multinomialkoeffizient

Wie viele unterschiedliche Anordnungen hat ein Wort/eine Folge mit Wiederholungsgruppen? M(n; k₁, k₂, …) = n! / (k₁! × k₂! × …)

GruppeAnzahl kᵢ

n = 6 Elemente gesamt

Formel6! / (3! × 2! × 1!)

Multinomialkoeffizient60

BeispielAnagramme von «AAABBC»: 60

Häufige Fragen zur Kombinatorik

Permutation: Alle n Elemente werden angeordnet (Reihenfolge wichtig). Variation: k von n Elementen werden geordnet ausgewählt. Kombination: k von n Elementen werden ausgewählt, Reihenfolge ist egal (wie beim Lotto).

Swiss Lotto: C(42, 6) = 5245786. Die Chance, alle 6 Richtigen zu tippen, beträgt also 1 : 5245786 — das entspricht ca. 0,000019 %. Der Rechner im Tab «Kombination» mit n = 42, k = 6 zeigt dies direkt an.

Die Fakultät von 0 ist per Definition 1. Dies ist mathematisch konsistent: Es gibt genau eine Möglichkeit, eine leere Menge anzuordnen — nämlich gar nicht. Die Definition stellt auch sicher, dass Formeln wie C(n, 0) = 1 korrekt funktionieren.

Jede neue Stelle vervielfacht die Anzahl Möglichkeiten. Bei einem Kartenspiel (52 Karten): 52! ≈ 8 × 10⁶⁷ — mehr als die Anzahl Atome im sichtbaren Universum (ca. 10⁸⁰). Das bedeutet: Jede gut gemischte Kartenkombination ist mit grösster Wahrscheinlichkeit einzigartig in der Geschichte.

Wenn die Reihenfolge der Auswahl wichtig ist. Beispiele für Variation: Podiumsplätze (Gold, Silber, Bronze sind unterschiedlich), Passwörter, Schlösselkombinationen. Beispiele für Kombination: Lottoziehung, Komitees/Ausschüsse, Handkarten beim Kartenspiel.

Datenquellen: Eidg. Steuerverwaltung (ESTV), Bundesamt für Wohnungswesen (BWO), Bundesamt für Statistik (BFS), Schweizerische Nationalbank (SNB), Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV). Stand: April 2026. Alle Angaben ohne Gewähr — Haftungsausschluss.