Wahrscheinlichkeitsrechner
Einfache Wahrscheinlichkeit, Bayes-Theorem, Binomialverteilung und Schweizer Lotto (6 aus 42) berechnen. Ergebnis in %, Dezimal und Bruch — mit vollständigem Rechenweg.
✓ Kostenlos · Keine Registrierung · Berechnung lokal im Browser · Keine Daten gespeichert
Wahrscheinlichkeit berechnen — Grundformeln
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung quantifiziert die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Sie liegt immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher).
P(A) = günstige Ereignisse / mögliche Ereignisse = k/n
Gegenwahrscheinlichkeit:
P(Ā) = 1 − P(A)
Additionssatz (sich ausschliessende Ereignisse):
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Multiplikationssatz (unabhängige Ereignisse):
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Würfel (6 Seiten), P(gerade Zahl): P = 3/6 = 1/2 = 50%
Münzwurf, P(zweimal Kopf): P = 1/2 × 1/2 = 1/4 = 25%
Karten, P(Ass): P = 4/52 = 1/13 ≈ 7,69%
Urnenmodell und Verteilungen
Urnenmodell
Das Urnenmodell ist ein klassisches Modell: Eine Urne enthält Kugeln verschiedener Farben. Man zieht eine oder mehrere Kugeln und fragt nach der Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Kombination.
- Mit Zurücklegen: Jede gezogene Kugel wird zurückgelegt, bevor die nächste gezogen wird. Die Züge sind unabhängig → Binomialverteilung.
- Ohne Zurücklegen: Die Kugel bleibt draussen. Die Züge sind abhängig → Hypergeometrische Verteilung.
Hypergeometrische Verteilung (ohne Zurücklegen)
N = Gesamtanzahl, M = Trefferkugeln, m = Ziehungen, x = gewünschte Treffer
Binomialverteilung (mit Zurücklegen)
E(X) = n × p (Erwartungswert)
σ = √(n × p × (1−p)) (Standardabweichung)
Bayes-Theorem in der Praxis
Das Bayes-Theorem wird häufig in der Medizin verwendet. Beispiel: Ein Test auf eine seltene Krankheit (Prävalenz 1%) hat eine Sensitivität von 95% und eine Falsch-Positiv-Rate von 5%. Selbst bei positivem Testergebnis beträgt die Wahrscheinlichkeit, wirklich krank zu sein, nur ca. 16% — weil die Krankheit selten ist.
Schweizer Lotto 6 aus 42
Beim Swiss Lotto von Swisslos werden 6 Zahlen aus 42 gezogen (ohne Zurücklegen). Die Gesamtanzahl der Kombinationen beträgt C(42,6) = 5245786. Mit optionaler Glückszahl (1–6) erhöht sich die Schwierigkeit für Hauptgewinne um den Faktor 6.
Normalverteilung N(μ, σ²)
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Klassisch: P(A) = günstige Ereignisse / mögliche Ereignisse. Beispiel: Würfeln einer 6 → P = 1/6 ≈ 16,67%. Das Ergebnis ist immer zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher). Dieser Rechner zeigt das Ergebnis in Prozent, Dezimal und Bruchform.
Mit Zurücklegen: Die Zusammensetzung der Urne bleibt bei jedem Zug gleich — Binomialverteilung. Ohne Zurücklegen: Jede gezogene Kugel fehlt beim nächsten Zug — hypergeometrische Verteilung. Beim Lotto wird ohne Zurücklegen gezogen.
Bayes sagt: P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B). Auf Deutsch: «Wenn B beobachtet wurde, wie wahrscheinlich ist A?» Beispiel: Test positiv (B) → wie wahrscheinlich ist die Krankheit (A)? Entscheidend ist die Vorab-Häufigkeit (Prävalenz) von A.
Beim Swiss Lotto (6 aus 42): P = 1/5245786 ≈ 0.000019%. Für 3 Richtige ca. 1:35, für 4 Richtige ca. 1:733. Mit richtiger Glückszahl jeweils durch 6 dividieren. Im Vergleich: Deutsches Lotto (6 aus 49) hat eine Jackpot-Chance von 1:13983816.
Die Binomialverteilung beschreibt n unabhängige Bernoulli-Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Formel: P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k). Erwartungswert: n×p. Standardabweichung: √(n×p×(1-p)). Dieser Rechner berechnet auch P(X≤k) und P(X≥k).