Trigonometrie Rechner
Sinus, Kosinus, Tangens und alle 6 Winkelfunktionen berechnen. Dreieck lösen (SSS, SAS, ASA, AAS), Einheitskreis, Grad↔Radiant — mit vollständigem Lösungsweg.
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Trigonometrie — Formeln und Definitionen
Die Trigonometrie befasst sich mit den Winkelfunktionen und ihren Beziehungen in Dreiecken. Im rechtwinkligen Dreieck gelten die Grunddefinitionen:
sin(α) = Gegenkathete/Hypotenuse = a/c
cos(α) = Ankathete/Hypotenuse = b/c
tan(α) = Gegenkathete/Ankathete = a/b = sin(α)/cos(α)
Abgeleitete Funktionen:
cot(α) = 1/tan(α) = cos(α)/sin(α)
sec(α) = 1/cos(α)
csc(α) = 1/sin(α)
Pythagoreische Identität:
sin²(α) + cos²(α) = 1
0°: sin=0, cos=1, tan=0
30° (π/6): sin=0.5, cos=√3/2≈0.866, tan=1/√3≈0.577
45° (π/4): sin=cos=1/√2≈0.707, tan=1
60° (π/3): sin=√3/2≈0.866, cos=0.5, tan=√3≈1.732
90° (π/2): sin=1, cos=0, tan=±∞
Dreieck lösen — Sinus- und Kosinussatz
Je nach gegebenen Grössen wählt man unterschiedliche Methoden, um ein allgemeines Dreieck vollständig zu berechnen.
Sinussatz (für ASA und AAS)
Wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind, gilt der Sinussatz:
Aus α, β, c → γ = 180° − α − β, dann a = c·sin(α)/sin(γ), b = c·sin(β)/sin(γ)
Kosinussatz (für SSS und SAS)
Wenn alle Seiten oder zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind:
cos(α) = (b² + c² − a²) / (2bc)
Rechtwinkliges Dreieck (Pythagoras)
α = arctan(a/b) — Winkel aus den Katheten
Grad ↔ Radiant
Grad = Radiant × 180 / π
30° = π/6 | 45° = π/4 | 60° = π/3 | 90° = π/2 | 180° = π | 360° = 2π
Trigonometrische Identitäten — Verifikation
Häufig gestellte Fragen (FAQ)
sin, cos, tan, cot (=1/tan), sec (=1/cos) und csc (=1/sin). Alle six lassen sich aus einem Winkel berechnen. Die wichtigste Identität ist sin²(α) + cos²(α) = 1.
Formel: rad = Grad × π/180. Beispiele: 90° = π/2 ≈ 1.5708 rad, 180° = π ≈ 3.1416 rad. Der Rechner führt diese Umrechnung automatisch durch.
Sinussatz bei ASA (zwei Winkel + eingeschlossene Seite) oder AAS (zwei Winkel + gegenüberliegende Seite). Kosinussatz bei SSS (alle Seiten) oder SAS (zwei Seiten + eingeschlossener Winkel).
Ein Kreis mit Radius 1. Für jeden Winkel α gilt: Punkt auf dem Kreis = (cos α, sin α). Der Einheitskreis visualisiert alle Winkelfunktionen und ihre Periodizität. Er ist fundamental für die Analyse periodischer Phänomene.
Trigonometrie findet Anwendung in Architektur (Dachneigung, Winkel), Navigation (GPS), Vermessung, Physik (Schwingungen, Wellen), Computergrafik und Ingenieurwesen. In der Schweiz ist sie z.B. beim Berechnen von Hangneigungen im Bergbau oder Skigebietsbau relevant.